A magia do "37037"

Da família dos números mágicos, faz parte o número 37037.  E é mágico porquê?

Porque se o multiplicarmos por um algarismo x qualquer e seguidamente multiplicarmos o resultado por 3, obteremos um número em que todos os dígitos são iguais a x.

Observa,

Incrível! Todos os dígitos do resultado final 555555 são iguais ao algarismo escolhido para realizar a primeira multiplicação.

Será sempre verdade?

Vamos multiplicar 37037 pelo algarismo 7 e o resultado obtido por 3. Será que o resultado será 777777?

Para confirmar efectivamente a magia do número 37037, efectua também as tuas experiências com outros algarismos.

Multiplicações Curiosas I

Algumas multiplicações apresentam particularidades que as tornam notáveis.

Atentemos nas 9 multiplicações seguintes. Em todas elas aparecem os 9 algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9 , uma só vez cada um deles, e distribuídos pelos factores e pelo produto de cada multiplicação :

4 x 1738 = 6952

4 x 1963 = 7852

12 x 483 = 5796

18 x 297 = 5346

27 x 198 = 5346

28 x 157 = 4396

39 x 186 = 7254

42 x 138 = 5796

48 x 159 = 7632

Multiplicações Curiosas II

Atente-se nas seguintes multiplicações e procure-se alguma particularidade comum entre elas. Supondo que se mantém a regra de formação, que resultado se pode prever para a última multiplicação?

11 x 1111 = 12221

21 x 11111 = 233331

13 x 11111 = 144443

24 x 111111 = 2666664

32 x 111111 = 3555552

43 x 1111111 = 47777773

53 x 11111111 = 588888883

72 x 111111111 = ?????????????????????

SOLUÇÃO:

Verifica-se que os algarismos que formam o factor de dois dígitos são, e por esta ordem, o primeiro e o último algarismo do produto.

Por outro lado, se repararmos bem notamos que os algarismos intermédios do produto são a soma dos algarismos que formam o factor de dois dígitos (1+1=2; 2+1=3; 1+3=4; etc.)

Finalmente, agora é necessário saber quantos 9 ficam entre o 7 e o 2. Vejamos se haverá alguma relação entre o número de algarismos que compõem o segundo factor apenas composto por 1’s e o número de algarismos (iguais entre si) que ficam entre os extremos.

No primeiro caso temos quatro uns e três dois;

no segundo , cinco uns e quatro três;

no terceiro, cinco uns e quatro três;

no quarto, seis uns e cinco cincos....

Assim , o número de algarismos que ficam entre os extremos é igual ao número de uns que compõem o segundo factor menos uma unidade.

Portanto podemos dizer que 72 x 111111111 = 7999999992.